2014年01月15日

最短シュタイナー問題


「回転対称性の自発的破れ」
回転対称性は、破れる。

回転対称性を持っているものが、ず〜っと、
回転対称でいられるっていうのは、許されてない。
それはこの世界の創造主が決めた事。
創造主って、つまり神ね。

一番わかりやすい、その事例の事を、
「最短シュタイナー問題」という。

説明しましょう。
絵を描かないから、
文字で書くから、
想像してみてね。

正方形が、あるよ。



↑正方形。

正方形って、90°回転させても、180°回転させても、回転させる前と同じ形の、正方形。
そんなの、あたりまえだよね〜。
このことを、回転対称性が有る というの。

じゃあ、4つの頂点から、線を出して、
一番短く、つなげる事ができるかな?

どうやったら一番短くつなげられる?
4つの頂点を、× のように、つなげちゃったらどうだろう?
でも実は、その形より、短くつなげられるやり方がある。
それは、キャラメル包みみたいな形に、つなぐの。
わかるかな〜

>-< こんなふうにつなぐの。

この、頂点から出る線の角度は、30° ね。

これがどうして最短の長さなのか、三角関数をつかえばすぐにわかるよ。
正方形の一辺を、「1」とすると、
 × の場合は、√2+√2 だから、ひとよひとよにひとみごろたす
 ひとよひとよにひとみごろ で、2.8284…だね。
>-< の場合は、ちょっとややこしいかな? 計算は簡単だから大丈夫。
 30°の直角三角形は、斜辺を2とすると、残りの辺は、1と√3 という
 決まりがあるので、それを使って算出する。めんどくさいけどがんばって。
 すると線の長さは、1+√3なの。いちたすひとなみにおごれや で、2.732…だね。
 だからこっちの方が、短い。
ということは、正方形の4頂点を結ぶ最短の線は、
棒が横向きの - こういう場合もあるし、
棒が縦向きの | こういう場合もあるってことだ。

これって、90°回転させたら、元と同じ形にはならない。
4頂点を結ぶ最短の線は、回転対称性を持っていない。
これが回転対称性の自発的破れ。

最短シュタイナー問題の計算はめんどうだけど、目で、一発で見る方法がある。
それは、せっけん液を使うの。
むか〜し、秋山仁先生が、NHK教育でやっていた。
これは自然界にも自然に存在してて、蜂の巣なんかもそうだよ。
一番材料を節約できるから、あの形。

ふしぎだなー。
なぜこんな簡単な事が、美しい対称性を持たないのだろう。
宇宙はもしかしたら平坦じゃないのかもしれない?
果てがないのだから、きっと、平坦じゃ、ないよなー。
本当に不思議だ。


posted by 辰多みか at 17:04 | 日本ミツバチから学んだこと | 更新情報をチェックする
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